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日常思ったことと好奇心の追求

対数の微分

自然対数の微分

自然対数の微分TeX記法 の練習がてらブログにメモります。
またこの記事は、VisualStudioCodeで作成&投稿しました。
思ったより使いやすく気に入りました。

問題

f(x)=log_ex微分し、f'(x) を求めよ。

解答

 \displaystyle{
f'(x) = \frac{1}{x}
}

上記公式に見覚えはありますか?
学生時代は公式だけ覚えて終わりましたが、今回は証明という形で過程を追いました。

証明

証明は幾つかありますが、自分が一番好きな奴で。

STEP.1 : 導関数の公式に当てはめる

 \displaystyle{
\begin{alignedat}{2}
f'(x) &= \lim_{h\to0}\frac{log_e(x+h)-log_ex}{h}
\end{alignedat}
}
  • 解説:hが限りなく0に近づいた場合の、f(x+h)とf(x)の2点間の傾きを求めている。

STEP.2 : 対数の公式を駆使して\logを変形する

 \displaystyle{
\begin{alignedat}{2}
f'(x) &= \lim_{h\to0}\frac{1}{h}(log_e(x+h)-log_ex)\\
      &= \lim_{h\to0}\frac{1}{h}log_e\frac{x+h}{x} & \cdots(1)\\
      &= \lim_{h\to0}log_e(\frac{x+h}{x})^\frac{1}{h} & \cdots(2)\\
      &= \lim_{h\to0}log_e(\frac{x}{x}+\frac{h}{x})^\frac{1}{h}\\
      &= \lim_{h\to0}log_e(1+\frac{h}{x})^\frac{1}{h}\\
\end{alignedat}
}

(1)について

対数の公式を利用

 \displaystyle{
\log_aX-\log_aY = \log_a\frac{X}{Y}
}

(2)について

対数の公式を利用

 \displaystyle{
Y\cdot\log_aX = \log_aX^Y
}

STEP.3 : 更なる式整形のため x に活躍いただく

 \displaystyle{
\begin{alignedat}{2}
 f'(x) &= \lim_{h\to0}x\cdot\frac{1}{x}\cdot\log_e(1+\frac{h}{x})^\frac{1}{h} & \cdots(3)\\
       &= \lim_{h\to0}\frac{1}{x}\cdot\log_e(1+\frac{h}{x})^\frac{x}{h}
\end{alignedat}
}

(3)について

ネイピア数の定義式に変形するための操作。
x\cdot\frac{1}{x}=1 なので等式は成り立つ。
自分が一番好きな過程です。

STEP.4 : ネイピア数eの定義に当てはめる

ネイピア数eの定義が下記であることを利用する。

 \displaystyle{
\begin{alignedat}{2}
e &= \lim_{t\to0}(1+t)^\frac{1}{t}
\end{alignedat}
}

ここで、 \frac{h}{x}=t とおくと変形中の式は下記になる。

 \displaystyle{
\begin{alignedat}{2}
f'(x) &= \lim_{t\to0}\frac{1}{x}\cdot\log_e(1+t)^\frac{1}{t}\\
      &= \frac{1}{x}\cdot\log_ee\\
      &= \frac{1}{x}\cdot1\\
      &= \frac{1}{x}
\end{alignedat}
}

\therefore f(x)=\log_ex の場合は、f'(x) = \frac{1}{x} となる。

めでたし、めでたし